Второе число каждой строки соответствует её номеру.

Третье число каждой строки равно сумме номеров строк, ей предшествующих.

Треугольник Паскаля представляет собой различные системы измерения пространства: одномерное, двухмерное, трехмерное, четырехмерное и т.д.

Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна     . Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна         .

Все строки треугольника Паскаля симметричны. Потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична.

Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа).

Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный диагоналями, на пересечении которых находится этот элемент.

Если посчитать для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, то получится соответствующее число Фибоначчи.

Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно.

Первая диагональ треугольника Паскаля – это натуральные числа, идущие по порядку.

Вдоль второй диагонали треугольника выстроены треугольные числа (Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел) и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Третья диагональ треугольника Паскаля — это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

Сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.

Каждое число треугольника Паскаля равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.

Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные - в белый, то образуется треугольник Серпинского.

Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.